高中数学中递推数列通项公式的求法探讨
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论文摘要:数列是高中数学中很重要的内容之一,是高考的热点;而递推数列又是数列的重要内容,是高考的亮点。本文对几类常见的递推数列求通项问题进行了探讨。
关键词:数列;递推数列;通项公式
数列是高中数学中很重要的内容之一,是高考的热点,而递推数列又是数列的重要内容,是高考的亮点,在近几年的高考中,纵观各地高考数学试题,“递推数列”几乎为必考题,且多以“把关题”的姿态出现。特别是2008年高考中,全国19套文理试卷中共有30多道数列问题,其中递推数列有20多道。数列中蕴含着丰富的数学思想,而递推数列的通项问题具有很强的逻辑性,是考查逻辑推理和化归能力的好素材,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性。因此经常渗透在高考试题和竞赛中。本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发。
求递推数列通项的常见方法有:1.猜——证;2.累加、累乘;3.迭代法;4.构造法(转化为等差、等比数列)。
引例:已知数列{an}满足:①已知数列{an}中,a1=2,an+1-an=2,求通项 an= ;②已知数列{an}中,a1=1,,求通项 an= 。
以此题为背景,考试命题常见有这样几种变化思路:
思路一:将常数“2”变为关于n的函数f(n),即:an+1-an=f(n),型。
例如: ①(2008江西):已知数列{an}满足a1=2,an+1=an + ,则an=( A )。
A . 2+lnn B. 2+(n-1) lnn C. 2+ nlnn D. 1+ nlnn
解析:法一:验证法;
法二:整体代换变为;
法三:累加法。。
②已知数列{an}中,a1=1,,求通项 an= 。
解析:法一:累积法可得an=n;
法二:迭代法;
法三:。
规律总结:an+1-an=f(n)型常用(累加 )法,型常用(累乘)法。
思路二:在 ② 中 等价于,在此式的右边+,即
变式1:(2006年重庆):已知数列{an}中a1=1,,求an= 。
解析:法一:观察,在“=”两边同+3得到;
法二:在用累加法;
法三:待定系数法可得,所以数列是以a1+3=4为首项。
公比为2的等比数列即an+3=(a1+3)·
又如这个例子:某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的,并且每年新增汽车数均为万辆。求年后汽车的保有量。
解析:从200
1年起,该市每年末汽车保有量依次记为(单位:万辆),则可以得到数列。
依题意,当时,, ①
设,即, ②
①,②比较,得,故,
则数列是首项为,公比为0.94的等比数列,
所以,
即。
变式2:已知数列{an}中,a1=1,,求an= 。
解析:(转化为等差数列)以首项,1为公差的等差数列, ∴。
变式3:已知数列{an}中a1=1,,求an= 。
法一:由得到转化为型;
法二:(待定系数法)以为首项,2为公比的等比数列,∴。
变式4:已知数列{an}满足a1=1,,求= 。
法一:,转化为型,先求,再用累加求得;
法二:(待定系数法)设
,
令,∴。
规律总结:(1)递推关系为(A≠1,A、B≠0)型,可设;
(2)形如型,可设;
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